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    • 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=6，AD=4，AA1=3，分别过BC、A1D1的两个平行截面将长方体分成三部份， 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB=3，AD=6，...

    作者&投稿：闳图 2025-05-24
    如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1 中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E，F分别是棱AB，BC 上的点，且EB=FB=1．（1）

    解答：解：（1）以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D1（0，0，2），C1（0，4，2），E（3，3，0），F（2，4，0），于是EC1=（-3，1，2），FD1=（-2，-4，2），设设EC1与FD1所成角为β，则cosβ=|EC1?FD1||EC1|?|FD1|=2114．∴异面直线EC1与FD1所成角的余弦值为2114．（2）因为点G在平面A1B1C1D1 上，故可设G（x，y，2）．DG=（x，y，2），FD1=（-2，-4，2），EF=（-1，1，0）．由DG?FD1＝0DG?EF＝0得<div style="background-image: url(http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/78310a55b319ebc436713b2d8126cffc1e17167c.jpg); background-attachment: initial; background-origin: initial; background-clip: initial; background-color: initial; width: 9px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; height: 10.5px; background-position: initial initial; background-repeat: no-repeat repeat; " mu

    （1）分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A（2，0，0），C（0，4，0），D1（0，0，2），E（0，4λ1+λ，2），F（1，4，0），∴D1A＝(2，0，?2)，D1C＝(0，4，?2)，当λ＝13时，E（0，1，2），EF=（1，3，-2），设平面D1AC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n?D1A＝2x?2z＝0n?D1C＝4y?2z＝0，取y=1，则n=（2，1，2），cos＜EF，n＞=114×3＝1442，∵cos＜EF，n＞＞0，∴＜EF，n＞是锐角，∴直线EF与平面D1AC所成角的正弦值为1442．（2）假设EF⊥EA，则EF?<

    V1：V2：V3=1：4：1，
    又棱柱AEA1-DFD1，EBE1A1-FCF1D1，B1E1B-C1F1C的高相等，?
    ∴S△A1AE：SA1-EBE1：S△BB1E1=1：4：1．
    ∴S△A1AE=
    1
    6
    S四边形A1ABB1    =
    1
    6
    ×3×6    =3，
    即
    1
    2
    ×3×AE    =3．解得AE=2．
    在Rt△A1AE中，A1E=


    
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