已知如图，p为正方形ABCD所在平面外的一点，PA垂直平面ABCDe是pc上一点，求证，ab平行平 （2012?门头沟区一模）已知边长为2的正方形ABCD所在平...
（1）∵ABCD是矩形,取PB的中点为G，连GF,GE,证得平面GEF//平面PAD，EF∥平面PAD。（2）证明△PAE≌△CBE，得出EF⊥PC。又CD⊥GE证得CD⊥平面GEF，推出EF⊥CD。（3）EF与面ABCD所成的角为45°。 试题分析：（1）∵ABCD是矩形,取PB的中点为G，连GF,GE,由三角形中位线定理，知GF//BC//AD,GE//PA,又GE与GF交于G，PA与AD交于A，所以平面GEF//平面PAD，EF∥平面PAD。 （2）∵ABCD是矩形，∴CB＝AD、∠CBE＝90°、BC⊥CD。∵PA⊥平面ABCD，∴∠PAE＝90°。∵PA＝AD、CB＝AD，∴PA＝CB，又AE＝BE、∠PAE＝∠CBE＝90°，∴△PAE≌△CBE，∴CE＝PE，而F∈PC且PF＝CF，∴EF⊥PC。∵G、F分别是PB、PC的中点，∴GF是△PBC的中位线，∴GF∥BC，而BC⊥CD，∴CD⊥GF。∵G、E分别是PB、AB的中点，∴GE是△BPA的中位线，∴GE∥PA，而PA⊥平面ABCD，∴GE⊥平面ABCD，∴CD⊥GE。由CD⊥GF、CD⊥GE、GF∩GF＝G，∴CD⊥平面GEF，∴EF⊥CD。（3）过F作FO⊥AC交AC于O。∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥EO，得：FO∥PA，FO⊥EO，AO＝CO。由PF＝CF，FO∥PA，得：FO＝ PA。由AE＝BE，AO＝CO，得：EO＝ BC。由PA⊥面ABCD，FO∥PA，得：FO⊥面ABCD，∴∠FEO就是EF与面ABCD所成的角。∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD，又∠PDA＝45°，∴PA＝AD，结合证得的FO＝ PA，得：FO＝ AD。∵ABCD是矩形，∴AD＝BC，结合证得的EO＝ BC，得：EO＝ AD。由FO＝ AD，EO＝ AD，FO⊥EO，得：∠FEO＝45°。即：EF与面ABCD所成的角为45°。点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程。
（1）证明：如图所示，连接OE， ∵O是正方形ABCD的中心，∴OC=OA，∵E是PC的中点．∴CE=EP．∴OE ∥ AP，∵PA?平面BDE，OE?平面BDE，∴PA ∥ 平面BDE；（2）证明：∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD．由正方形可得：BD⊥AC，又PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．而BD?BED，∴平面BED⊥平面PAC．（3）∵PO⊥底面ABCD，OA=OB，∴PA= O A 2 +O P 2 = O B 2 +O P 2 =PB，同理，PB=PC=PD．∵PA=AB，∴△PAB是等边三角形，且△PAB≌△PBC≌△PCD≌△PDA．而 S 正方形ABCD = 4 2 =16， S △PAB = 3 4 ?A B 2 =4 3 ．∴四棱锥P-ABCD的全面积=S 正方形ABCD +4S △PAB =16+16 3 ．
（1）因为ABCD为正方形所以AD平行于CD
又因为CD属于平面PCD，AB不属于平面PCD，所以AB平行于平面PCD
（2）因为PA垂直于平面ABCD
所以PA垂直于BD
因为AC垂直于BD
又因为PA和AC交于一点A
所以BD垂直于平面PAC
又因为BD属于平面BDE
所以平面BDE垂直于平面PAC
你是否需要了解？
已知如图,p为正方形ABCD所在平面外的一点,PA垂直平面ABCDe是pc上一点...
（1）因为ABCD为正方形 所以AD平行于CD 又因为CD属于平面PCD，AB不属于平面PCD，所以AB平行于平面PCD （2）因为PA垂直于平面ABCD 所以PA垂直于BD 因为AC垂直于BD 又因为PA和AC交于一点A 所以BD垂直于平面PAC 又因为BD属于平面BDE 所以平面BDE垂直于平面PAC ...
如图:已知P是正方形ABCD所在平面外一点,点P在平面ABCD内的射影O是正...
证明：（1）∵PO⊥面ABCD，O为正方形ABCD的中心∴PA=PB=PC=PD=AB=BC=CD=DA∵E为PD的中点∴PD⊥CE，PD⊥AE又∵AE∩CE=E∴PD⊥面AEC（2）∵O、E是中点∴OE ∥ PB∴PB ∥ 面AEC直线PB与平面AEC的距离为P点到面AEC的距离∵PD⊥面AEC∴PE为P点到面AEC的距离为 2 2 a （3...
如图,已知点P是正方形ABCD所在平面上的一点,PA垂直平面ABCD,P0A=AB=...
(1)、证明：连接BD ∵ABCD是正方形，且F是对角线AC的中点 ∴BD的连接线交AC于F点 又∵E是PB的中点 ∴EF||PD 又∵PD在平面APD内 ∴EF||平面APD (2)、∵H、F分别是PA、AC的中点 ∴HF||PC ∴∠PCD即为异面直线HF与CD的夹角 又∵PA垂直平面ABCD AC、AD均在平面ABCD内 ∴PA⊥AC，PA...
如图,已知点P是正方形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,PA=AB,点E...
面PAC，∴BD⊥PO，∴∠AOP就是平面PBD与平面ABCD所成角，在Rt△AOP中，tan∠AOP= PA AO = 2 ；（3）过点E作EH ∥ PA，交AB于H，连接FH，则 BE BP = BH BA ，∵BE=CF，BP=AC，∴ BE BP = CF AC ，∴ BH BA = ...
如图,点P是正方形ABCD所在平面上一点,且满足AP等于7,BP等于5,则PD的最...
如图所示，点P和P'均满足AP=7，BP=5，但显然PD＜P'D，所以点P'的情况略去，将△APB绕点A逆时针旋转90°至△AQD处，连接PQ。因为△AQD是由△APB逆时针旋转90°而来，所以AP=AQ=7，BP=DQ=5，∠PAB=∠QAD，则∠BAD=∠PAB+∠PAD=∠QAD+∠PAD=∠PAQ=90°，可知△PAQ是等腰直角三角形，...
已知:如图,P是正方形ABCD内的一点,∠ABP=135°,BP=1,AP=根号7,求PC的...
与点A重合），所以，AP′=PC，BP′=BP=1，所以，△PBP′是等腰直角三角形，所以，∠P′PB=45°，PP′=√BP²+BP′²=√2 ∵∠APB=135°，∴∠APP′=∠APB-∠P′PB=135°-45°=90°，在Rt△APP′中，AP′=√PP′²+AP²==3，∴PC=AP′=3．
如图,已知P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3,以点B为旋转中心,将△AB...
利用勾股定理的逆定理，判断△PGC为直角三角形．利用面积法求出点G到PC的距离，即可解答.试题解析：（1）旋转后的△BCG如图所示，旋转角为∠ABC=90°； （2）连接PG，由旋转的性质可知BP=BG，∠PBG=∠ABC=90°，∴△BPG为等腰直角三角形，又BP=BG=2，∴PG= ；（3）（3）由旋转的性质...
已知:如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=150. 求证:△PBC是正三角形...
∴△PBC是等边三角形.2、初中做法：以AD为边在正方形上方做一个等边三角形ADE,连接PE ∵∠PAD＝∠PDA＝15° ∴AP=DP ∵AE=DE,PE=PE ∴△APE≌△DPE ∴∠AEP=∠DEP=1\/2∠AED=30° ∠EAP=∠EDP=60°+15°=75° ∴∠APE=∠DPE=75° ∴∠EAP=∠EPA=75° ∴AE=PE=AB=BC 在△AEP...
如图,已知P为正方形ABCD内一点,以点B为旋转中心,将△ABP顺时针旋转使A...
（1）旋转后的△BCG如图所示：（2）∵以点B为旋转中心，将△ABP顺时针旋转使A点和C点重合，∴BP=BG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠PBG=90°，∴△PBG是等腰直角三角形，∴∠BPG=∠BGP=45°，∵∠ABP=50°，∴∠PBH=90°-50°=40°，∴∠PHC=∠PBH+∠BPH=45°+50°=95°．
已知:如图,点P是正方形ABCD内的一点,连结PA,PB,PC. (1)如图甲,将△PAB...
（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，连接PP′． 同（1）①可知：△BPP′是等腰直角三角形，即PP′ 2 =2PB 2 ；∵PA 2 +PC 2 =2PB 2 =PP′ 2 ，∴PC 2 +P′C 2 =PP′ 2 ，∴∠P′CP=90°；∵∠PBP′=∠PCP′=90°，在四边形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=...