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    作者&投稿：古荷 2025-05-24
    如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角

    （1）如图，因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M和C1D1所成的角∵A1B1⊥面BCC1B1∴∠A1B1M=90°∵A1B1=1，B1M＝B1C12+MC12=2∴tan∠MA1B1=B1MA1B1=2即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为2（Ⅱ）∵A1B1⊥面BCC1B1，BM?面BCC1B1∴A1B1⊥BM①由（1）知B1M＝B1C12+MC12=2，BM=<div style="width: 6px; background-image: url(http://hiphotos.baidu.com/zhi

    解答：（Ⅰ）证明：由A1B1⊥平面BCC1B1，BM?平面BCC1B1，得A1B1⊥BM，①∵A1B1⊥平面BCC1B，∴∠A1B1M=90°，而A1B1=1，B1M＝B1C12+MC12=2，又BM=BC2+CM2=2，B1B=2，∴B1M2+BM2=B1B2，从而BM⊥B1M，又A1B1∩B1M=B1，再由①，②得BM⊥平面A1B1M，而BM?平面ABM，∴平面ABM⊥平面A1B1M． （Ⅱ）以A为原点，以AB为x轴，以A为y轴，以AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AB=AD=1，点M是CC1的中点，∴A（0，0，0），B（1，0，0），M（1，1，1），D（0，1，0），∴AB＝(1，0，0)，AM=（1，1，1），BD＝(?1，1，0)，设平面ABM的法向量为n＝(x，y，z)，则n?AB＝0，n?AM=0，∴x＝0x+y+z＝0，∴n=（0，1，-1），设直线BD与平面ABM所成角为θ，则sinθ=|cos＜BD，n＞|=|0+1+02?2|=12，∴θ=30°，∴直线BD与平面ABM所成角为30°．

    （1）如图，因为C1D1∥B1A1，
    所以∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角．
    因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M=90°，
    而A1B1=1，B1M=


    
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