图中有大、中、小3个正方形,组成了8个三角形.现在先把1,2,3,4分别填在大正方形的4个顶点上,再把1, 将1、2、3、4、5、7、8、9分别填入上图的8个“○”中,...

作者&投稿:犁岩 2025-05-22
如图中有大、中、小三个正方形,组成了八个三角形.现在把1,2,3,4分别填在大正方形的四个顶点上,再把

(1)假设三角形的顶点数字和相等是m,则有:8m=(1+2+3+4)×(1+3+2),8m=60,60不能被8整除,所以m不存在,假设错误.即不能使8个三角形顶点上数字之和相等.答:不能使8个三角形顶点上数字之和相等.(2)如图所示:

  填数之前,先看看图中有哪七个等腰三角形?

  从图1中首先看到四个小三角形,其中有三个分别在图形的左上部、右上部和下部,另一个在图形的中间。然后看到三个大三角形,它们各有一边在图形的六角形边界上,这一边所对的顶点在六角形的内部。

  图形外围的六个圆圈,各属于一个小三角形和一个大三角形;图形中间的三个圆圈,每一个都同时属于两个小三角形和一个大三角形。

  先考虑角上的三个小三角形,它们各据一方,互不干扰。其中每个小三角形顶点上的三个数编成一组。要能解答这个填数问题,先要把1、2、…、9分成三个一组,使各组的和相等。这恰好就是刚刚做过的“均匀搭配”的问题,它的答案是:

  9+4+2=8+6+1=7+5+3,

  9+5+1=8+4+3=7+6+2。

  由此可见,9、8、7这三个数,每一个都只能属于两个不同的等腰三角形,并且每两个都不能填写在同一个等腰三角形的顶点上。因而9、8、7必须相间排列在图形的六角形边界上,如图2所示。

(1)如果能,则8个三角形顶点和的总数和应该是8的倍数,但是这个综合有三组1、2、3、4组成,其中一组数被计算三次,一组数被计算两次,一组数仅被计算一次,因此该总和的值为6,不是8的倍数,产生矛盾,因此没有任何填法使8个三角形顶点上数字之和都相等.
(2)能,见下图.



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