线性代数 R(A)=R(ATA) 如何证明？ 线性代数秩，证明r(A^T·A)=r(A)
只需要证明线性方程组 A^TAX =0 与 AX=0 同解。一方面，显然 AX=0的解是 A^TAX =0 的解。另一方面，如果 A^TAX=0，左边乘以 X^T 得到 X^TA^TAX =0,即 (AX)^T(AX) =0注意，左边是一个积形式，正好是 |AX|²，所以只能 AX=0,说明A^TAX=0的解也是AX的解,证毕。
只有当A是可逆矩阵时，才可以把A'A看作是对A的初等变换。若A不可逆甚至A不是方阵时，无法看成初等变换。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！
构造两个齐次线性方程组：（1）Ax=0, (2)(AT A)x=0
如果这两个方程组同解，则两个方程组的系数矩阵有相同的秩，R(A)=R(AT A)=n-基础解系中向量个数。
这个很好理解对吧，《线性代数》的基本内容。
现在来证明它们同解：
首先，如果x1是（1）的解，那么它肯定也是（2）的解，因为将其代入（2）：
(AT A)x1=AT (Ax1)=AT *0=0
其次证明（2）的解也是（1）的解：
设x1是（2）的解，则AT A x1=0
进一步有：x1T AT A x1=0
即(Ax1)T (Ax1)=0
假设Ax1＝[a1,a2,...,an]T
则(Ax1)T(Ax1)=0就是a1^2+a2^2+...+an^2=0
那么只有a1=a2=...=an=0
也就是Ax1=0
至此说明了(2)的解也是(1)的解。
于是R(A)=R(AT A)
如果你知道奇异值分解，那么结论显然。
如果不知道就这样做：
若r(A)=k，那么可以用Gauss消去法把A消成梯阵，即CA=U，其中C是行初等变换的乘积，U仅有前k行非零且线性无关。
于是CAA^TC^T=UU^T，UU^T具有
B 0
0 0
的分块结构，其中B是k阶的满秩矩阵。又C是可逆的，所以r(AA^T)=r(B)=k=r(A)。
再利用r(A)=r(A^T)得r(A^T*A)=r(A^T)。
假设A为n阶矩阵
R(ATA) >= R(AT) + R(A) - n = n
R(ATA) <= min(R(AT) + R(A)) = n
所以 R(A)=R(ATA)
用a表示阿法用b表示贝塔:
由最大线性无关组的定义可知,a和b中每一列向量都可由其线性无关组线性表出:
a(i)=s1*a(1)+s2*a(2)+.....+sp*a(p);b(i)=t1*b(1)+t2*b(2)+....+tq*b(q);
故友a(i)+b(i)=s1*a(1)+s2*a(2)+.....+sp*a(p)+t1*b(1)+t2*b(2)+....+tq*b(q).那么说明a+b中
的每一列向量均可由a(1),a(2)....a(p),b(1),b(2)....b(q)线性表出,因此a+b的秩必然小于或等于
a(1),a(2)....a(p),b(1),b(2)....b(q)的秩.
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