如图所示，已知边长为2的正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，且PA=2，E是PC的中点．（1）证明：如图，已知ABCD是正方形；P是平面ABCD外一点，且PA⊥...

作者&投稿：龙翔 2025-05-23

如图，边长为2的正方形ABCD外有一点P，且PA=PB=PC=PD=2中，E是PC的中点．（1）求证：PA∥平面EBD；（2）

（1）取BD中点O，连接OE，∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC．又PE=EC，∴OE∥PA．又AP?平面EBD，OE?平面EBD．∴PA∥平面EBD；（2）由（1）可知：PA∥EO，∴∠OEB是异面直线PA与BE所成的角．∵正方形ABCD的边长为2，且PA=PB=PC=PD=2，E为PC的中点．∴OB=12BD＝12×22=2，EB＝3，在Rt△OBE中，OE＝EB2?OB2=1．∴cos∠OEB＝OEEB=33．

证明：（1）连接ED、EF，∵ABCD是正方形，E是AC的中点，∴ED⊥AC…（1分）又∵E、F分别是AC、PC的中点∴EF∥PA…（2分）又∵PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，…（3分）∵AC?平面ABCD，∴EF⊥AC…（4分）又∵ED∩EF=E，ED，EF?平面DEF∴AC⊥平面DEF…（5分）又∵DF?平面DEF故AC⊥DF…（7分）解：（2）∵PA⊥平面ABCD，∴是PA三棱锥P-CED的高，且PA=2∵ABCD是正方形，E是AC的中点，∴△CED是等腰直角三角形…（9分）又∵AB=1，故CE＝ED＝22，S△CED＝12CE?ED＝12?22?22＝14…（12分）故VC?PED＝VP?CED＝13?S△CED?PA＝13?14?2＝16…（14分）

解答：（1）证明：∵正方形ABCD，∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA，
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC．
（2）解：连结OE，∵ABCD是边长为2的正方形，
∴O是AC中点，又E是PC的中点，
∴OE∥PA，且OE=

PA＝1，
∵PA⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，
∴∠EBO是BE与平面ABCD所成角，
∵BO=

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